第8章 四种解法
？？
什么玩意？
更美妙的证法？
你以为你是费马啊。
“我靠，二中这逼说什么？”
“他说他有更好的解法，但是写出来我们看不懂。”
“纳尼？谁给他的勇气？”
“我是三中的，我投降，我的確看不懂。”
“我不信，这逼绝对打肿脸充胖子，我问了豆宝，豆宝也给出了这个解法！”
“……”
郭达也愣了愣，他可不知道什么更美妙的证法，他也不觉得这道题还有什么更好的解法。
他看到“群情激奋”的大礼堂，笑道：“齐物同学，你今天的表现已经很优秀了，不要太过激进。”
他这是好意，他已经相信齐物是独立解题了。
“是个好苗子，虽然已经高三了，不过可以挖到琅琊一中竞赛班试试……”
“郭老师。”
齐物再次走到平板前，轻声道，“可曾听说过射影几何？”
嗯？
郭达面色一紧，几何学分支？
“二维的xy轴其实是有些笨重的，那我们换一个视角。”
齐物开始书写，“將视角拉高至高维，在高维视角下，蝴蝶定理从来不是几何难题，而是变成了一个平凡的射影属性。”
他在平板上画了一个圆。
“很明显，我可以引入射影几何，使用齐次坐標。”
郭达的脸色终於认真起来，眼前的少年似乎比他预想的还要天赋超凡。
“设圆o为復射影平面內的二次曲线c，直线pq与c相交於两点。我们注意到，在这个射影变换下，我们可以构造一个对合。
根据德萨格对合定理，过定点m的所有二次曲线丛与直线pq的交点对，构成一个对合映射。”
齐物写下唯一的一行公式：
t（x）=y，t（m）=m，t（∞）=∞
“因为原点m是这个对合的固定点，且无穷远点在射影变换下保持对称，那么在这个线性变换中，每一个点（x，y）必然关於m对称。
即m为中点。
q·e·d。”
齐物放下电容笔，抬头看向郭达。
郭达脸色凝重，他有些跟不上齐物的思维。
他想起了射影几何、齐次变化、对合映射……都是《高等几何》里面的內容。
齐物……已经开始学习大学教材了？
不……將射影几何丝滑地应用到蝴蝶定理的证明上，需要极高的代数几何水平。
为何之前从未听说过兰苍县有这样一个数学天才？
为何没人发掘他，走竞赛这条路？
郭达看著齐物，觉得这一趟来的太值了。
他甚至从齐物的身上看到了，那个入选国集的学生崔东山的影子。
“好！”
郭达鼓掌，“齐物同学將复杂的平面几何降维成一个代数问题，这样的思维，非常厉害！”
国家名师郭老师直接盖章，让大礼堂里的师生和看直播的学渣们彻底震惊。
“我靠，二中的出来，这齐物真是你们学校的？”
“什么射影几何，齐次变换的……这是高中生该懂得东西吗？”
“你不说我还以为齐物写的那行公式是英语呢（笑哭）”
“虽然我一个字也没看懂，但是我感觉他很厉害。”
“二中雄起，將一中踩在脚下！”
“齐物牛逼！”
“……”
郭达越看齐物越喜欢，这傢伙喜怒不形於色，是典型的学霸啊，这样的孩子理应到更高的舞台去。
“齐物，我这里有一道题，你可以现场做一下吗？”
郭达想考验一下齐物的纯代数能力。
齐物表示无所谓，点头：“可以。”
他现在很喜欢做题的感觉，尤其是难题。
越难越好！
郭达手指一点，一道题目出现在大屏幕上。
【已知实数a，b，c>0，且满足abc=1。求证：a3/(1+b)（1+c）+b3/(1+c)（1+a）+c3/(1+a)（1+b）≥3/4。】
郭达道：“这是一道竞赛预赛难度的多元不等式题型，考的是代数放缩，齐物同学，你几分钟能做出来？”
齐物拿起电容笔，在他眼中，代数和几何没有区別。
具有高度对称性的代数式，往往有多种解法——
他略一沉吟，道：“郭老师，我可以提供四种不同的证明方法。”
此言一出，满场皆惊。
“我靠，我没听错吧！”
“我还在怀疑这是不是高中数学题，这二中的逼就说有四种证法？”
“我连一种都不会！”
“……”
郭达也一时语塞——
那边，齐物已经开始解题。
“第一种，很明显，最基础的均值不等式配凑法。
已知abc=1，我们可以对原式的每一项进行巧妙的常数配凑。
即：a3/(1+b)（1+c）+（1+b）/8+（1+c）/8≥33√a3/(1+b)（1+c）·（1+b）/8·（1+c）/8
简化右侧，恰好等於3√a3/64=3a/4
同理，对另外两项进行配凑，列出三个不等式，相加，可以得到——
原式+（2+b+c）/8+（2+c+a）/8+(2+a+b)/8≥3/4（a+b+c），
即原式≥1/2（a+b+c）-3/4。
注意到，均值不等式a+b+c≥33√abc=3。
即原式≥1/2x3-3/4=3/4。
q·e·d。”
大礼堂內空气一滯，90%的人都没跟上齐物的思维。
他们只知道，只用了一分多钟，齐物就给出了第一种证法。
看得懂的人都觉得，常数1/8的选取堪称神来之笔，恰好消去了分母，完美放缩。
“第二种，柯西不等式的分式形式。”
齐物自信地宛如给几百人讲课的老师，“很明显，可以將原式各项的分子分母同乘以相应的变量进行变形：
即原式=a^4/a(1+b)(1+c)+b^4/b(1+c)(1+a)+c^4/c(1+a)(1+b)，
应用柯西不等式，得到
原式≥（a2+b2+c2）2/a(1+b)(1+c)+b(1+c)(1+a)+c(1+a)(1+b)
答案已经很明显了吧。”
齐物停顿，看向下面乌压压的人群。
“明显？什么明显？哪里明显？”
人群里闪出素质三连问。
齐物看著鸦雀无声的观眾，道：“利用基本的不等式关係，展开分母，放缩分母和分子，结合abc=1，化简一下就能得出大於等於3/4的结论啊。”
“怎么感觉柯西不等式在他那里就像是1+1=2啊。”
“大巧不工。”
这是郭达的评价。
“第三种，赫尔德不等式。”
齐物写下一个对在场很多人都很陌生的名词。
郭达神色严肃，他发现齐物已经超出他的想像了。
“利用赫尔德不等式，將原式构造为三组求和式相乘的形式：
（∑a3/(1+b)(1+c))(∑(1+b)）)(∑(1+c）)≥(∑a)3
已知a+b+c≥3……右边等於27……化简之后，很明显，可以证明原式≥3/4。”
在场的师生们已经听得不知天地为何物。
“三套纯代数的解法，一套比一套高级……”
“柯西不等式我还见过，但是这个赫尔德不等式我是真没听过。”
“二中这逼怎么这么猛？”
“如此天才屈居二中？”
郭达讚嘆地感慨：“天才……简直是数学天才。”
“第四种。”
齐物仍旧在持续输出，“郭老师，您刚才说这道题没有图形可依託，但是依我看来，所有的代数方程，都有对应的几何图形。”
齐物在空白处，画了一个十字直角坐標系。
“利用切线放缩法，將原式看成三个相同的函数结构组成的求和形式。
已知abc=1，
构造单变量的一元函数f(x)=x3/(1+x)2
很明显，我们可以在平面直角坐標系中画出它的曲线。
寻找函数在x=1处的切线。
求导，得到切线方程y=1x/2-1/4
问题进而转化成证明f(x)≥1x/2-1/4，即是证明函数曲线始终位於切线上方。
將a，b，c分別代入切线方程並求和，原式≥1(a+b+c)/2-3/4≥3/2-3/4=3/4。
q·e·d。”
齐物放下电容笔，看著台下黑压压的人群。
四种解法，如同庖丁解牛。
乾净利落地摆在所有人面前。
总共用时，不到15分钟。
鸦雀无声。
县教育局的领导、各大高中的师生全部欲言又止。
不知道该怎么表达心中的震惊。
郭达惊呆了，齐物的数学水平，琅琊一中的清北预备生们，似乎也比不上！
他看著大屏幕上的公式，问出所有人想问的问题：“齐物同学，你是怎么……在这么短的时间內想出这么多的解法的？”
“直觉吧。”
齐物平静道，“实际上，就在三秒前，我又想到了第五种解法。”
什么玩意？
更美妙的证法？
你以为你是费马啊。
“我靠，二中这逼说什么？”
“他说他有更好的解法，但是写出来我们看不懂。”
“纳尼？谁给他的勇气？”
“我是三中的，我投降，我的確看不懂。”
“我不信，这逼绝对打肿脸充胖子，我问了豆宝，豆宝也给出了这个解法！”
“……”
郭达也愣了愣，他可不知道什么更美妙的证法，他也不觉得这道题还有什么更好的解法。
他看到“群情激奋”的大礼堂，笑道：“齐物同学，你今天的表现已经很优秀了，不要太过激进。”
他这是好意，他已经相信齐物是独立解题了。
“是个好苗子，虽然已经高三了，不过可以挖到琅琊一中竞赛班试试……”
“郭老师。”
齐物再次走到平板前，轻声道，“可曾听说过射影几何？”
嗯？
郭达面色一紧，几何学分支？
“二维的xy轴其实是有些笨重的，那我们换一个视角。”
齐物开始书写，“將视角拉高至高维，在高维视角下，蝴蝶定理从来不是几何难题，而是变成了一个平凡的射影属性。”
他在平板上画了一个圆。
“很明显，我可以引入射影几何，使用齐次坐標。”
郭达的脸色终於认真起来，眼前的少年似乎比他预想的还要天赋超凡。
“设圆o为復射影平面內的二次曲线c，直线pq与c相交於两点。我们注意到，在这个射影变换下，我们可以构造一个对合。
根据德萨格对合定理，过定点m的所有二次曲线丛与直线pq的交点对，构成一个对合映射。”
齐物写下唯一的一行公式：
t（x）=y，t（m）=m，t（∞）=∞
“因为原点m是这个对合的固定点，且无穷远点在射影变换下保持对称，那么在这个线性变换中，每一个点（x，y）必然关於m对称。
即m为中点。
q·e·d。”
齐物放下电容笔，抬头看向郭达。
郭达脸色凝重，他有些跟不上齐物的思维。
他想起了射影几何、齐次变化、对合映射……都是《高等几何》里面的內容。
齐物……已经开始学习大学教材了？
不……將射影几何丝滑地应用到蝴蝶定理的证明上，需要极高的代数几何水平。
为何之前从未听说过兰苍县有这样一个数学天才？
为何没人发掘他，走竞赛这条路？
郭达看著齐物，觉得这一趟来的太值了。
他甚至从齐物的身上看到了，那个入选国集的学生崔东山的影子。
“好！”
郭达鼓掌，“齐物同学將复杂的平面几何降维成一个代数问题，这样的思维，非常厉害！”
国家名师郭老师直接盖章，让大礼堂里的师生和看直播的学渣们彻底震惊。
“我靠，二中的出来，这齐物真是你们学校的？”
“什么射影几何，齐次变换的……这是高中生该懂得东西吗？”
“你不说我还以为齐物写的那行公式是英语呢（笑哭）”
“虽然我一个字也没看懂，但是我感觉他很厉害。”
“二中雄起，將一中踩在脚下！”
“齐物牛逼！”
“……”
郭达越看齐物越喜欢，这傢伙喜怒不形於色，是典型的学霸啊，这样的孩子理应到更高的舞台去。
“齐物，我这里有一道题，你可以现场做一下吗？”
郭达想考验一下齐物的纯代数能力。
齐物表示无所谓，点头：“可以。”
他现在很喜欢做题的感觉，尤其是难题。
越难越好！
郭达手指一点，一道题目出现在大屏幕上。
【已知实数a，b，c>0，且满足abc=1。求证：a3/(1+b)（1+c）+b3/(1+c)（1+a）+c3/(1+a)（1+b）≥3/4。】
郭达道：“这是一道竞赛预赛难度的多元不等式题型，考的是代数放缩，齐物同学，你几分钟能做出来？”
齐物拿起电容笔，在他眼中，代数和几何没有区別。
具有高度对称性的代数式，往往有多种解法——
他略一沉吟，道：“郭老师，我可以提供四种不同的证明方法。”
此言一出，满场皆惊。
“我靠，我没听错吧！”
“我还在怀疑这是不是高中数学题，这二中的逼就说有四种证法？”
“我连一种都不会！”
“……”
郭达也一时语塞——
那边，齐物已经开始解题。
“第一种，很明显，最基础的均值不等式配凑法。
已知abc=1，我们可以对原式的每一项进行巧妙的常数配凑。
即：a3/(1+b)（1+c）+（1+b）/8+（1+c）/8≥33√a3/(1+b)（1+c）·（1+b）/8·（1+c）/8
简化右侧，恰好等於3√a3/64=3a/4
同理，对另外两项进行配凑，列出三个不等式，相加，可以得到——
原式+（2+b+c）/8+（2+c+a）/8+(2+a+b)/8≥3/4（a+b+c），
即原式≥1/2（a+b+c）-3/4。
注意到，均值不等式a+b+c≥33√abc=3。
即原式≥1/2x3-3/4=3/4。
q·e·d。”
大礼堂內空气一滯，90%的人都没跟上齐物的思维。
他们只知道，只用了一分多钟，齐物就给出了第一种证法。
看得懂的人都觉得，常数1/8的选取堪称神来之笔，恰好消去了分母，完美放缩。
“第二种，柯西不等式的分式形式。”
齐物自信地宛如给几百人讲课的老师，“很明显，可以將原式各项的分子分母同乘以相应的变量进行变形：
即原式=a^4/a(1+b)(1+c)+b^4/b(1+c)(1+a)+c^4/c(1+a)(1+b)，
应用柯西不等式，得到
原式≥（a2+b2+c2）2/a(1+b)(1+c)+b(1+c)(1+a)+c(1+a)(1+b)
答案已经很明显了吧。”
齐物停顿，看向下面乌压压的人群。
“明显？什么明显？哪里明显？”
人群里闪出素质三连问。
齐物看著鸦雀无声的观眾，道：“利用基本的不等式关係，展开分母，放缩分母和分子，结合abc=1，化简一下就能得出大於等於3/4的结论啊。”
“怎么感觉柯西不等式在他那里就像是1+1=2啊。”
“大巧不工。”
这是郭达的评价。
“第三种，赫尔德不等式。”
齐物写下一个对在场很多人都很陌生的名词。
郭达神色严肃，他发现齐物已经超出他的想像了。
“利用赫尔德不等式，將原式构造为三组求和式相乘的形式：
（∑a3/(1+b)(1+c))(∑(1+b)）)(∑(1+c）)≥(∑a)3
已知a+b+c≥3……右边等於27……化简之后，很明显，可以证明原式≥3/4。”
在场的师生们已经听得不知天地为何物。
“三套纯代数的解法，一套比一套高级……”
“柯西不等式我还见过，但是这个赫尔德不等式我是真没听过。”
“二中这逼怎么这么猛？”
“如此天才屈居二中？”
郭达讚嘆地感慨：“天才……简直是数学天才。”
“第四种。”
齐物仍旧在持续输出，“郭老师，您刚才说这道题没有图形可依託，但是依我看来，所有的代数方程，都有对应的几何图形。”
齐物在空白处，画了一个十字直角坐標系。
“利用切线放缩法，將原式看成三个相同的函数结构组成的求和形式。
已知abc=1，
构造单变量的一元函数f(x)=x3/(1+x)2
很明显，我们可以在平面直角坐標系中画出它的曲线。
寻找函数在x=1处的切线。
求导，得到切线方程y=1x/2-1/4
问题进而转化成证明f(x)≥1x/2-1/4，即是证明函数曲线始终位於切线上方。
將a，b，c分別代入切线方程並求和，原式≥1(a+b+c)/2-3/4≥3/2-3/4=3/4。
q·e·d。”
齐物放下电容笔，看著台下黑压压的人群。
四种解法，如同庖丁解牛。
乾净利落地摆在所有人面前。
总共用时，不到15分钟。
鸦雀无声。
县教育局的领导、各大高中的师生全部欲言又止。
不知道该怎么表达心中的震惊。
郭达惊呆了，齐物的数学水平，琅琊一中的清北预备生们，似乎也比不上！
他看著大屏幕上的公式，问出所有人想问的问题：“齐物同学，你是怎么……在这么短的时间內想出这么多的解法的？”
“直觉吧。”
齐物平静道，“实际上，就在三秒前，我又想到了第五种解法。”