第7章 我还有一种更美妙的证法
？？
wtf？
一石激起千层浪！
大礼堂內一片譁然！
“我靠，此人是谁，竟然说郭老师的证法是错误的？”
“看校服好像是二中的。”
“二中？我笑死！”
“二中的连211都考不上，也敢质疑全国名师？”
“这傢伙看得懂题目吗？”
“臥槽，齐物，你……”
张凌光使劲拉了拉齐物的校服，想让他坐下，別丟人了。
“哦？”
郭达心中一动，微笑道，“那你说说看，我的解法哪里死板？哪里有错？”
齐物淡定地开口：“郭老师的解法是属於古典几何领域。
古典几何过度依赖个人灵感，寻找辅助线的过程本身就充满了偶然性。比如您的证明过程，过度依赖那四条垂线构造的相似三角形。
第一个证据，如果弦ab和cd中有一条恰好垂直於水平轴呢？”
此言一出，郭达微微一愣。
很多数学老师也是眉眼一抬。
“如果弦垂直於水平轴，那么垂线將与弦重合，三角形將不復存在，您的这一套比例推导是不是就直接崩溃了？
从而您的证明丟失了普適性。”
郭达內心一喜，看来兰苍县还是有苗子的。
“第二个证据，弦重合退化。ab和cd退化成同一条直线，相似三角形同样不存在，相似性判定条件不成立，辅助线失去意义。”
“第三个证据，动点翻转至圆外。
直线ad、bc与pq的交点x、y翻转到圆外时，所做的垂线会落在弦ab、cd的延长线上，纯几何中线段长度无正负界定，导致相似比例链断裂，若是强行推导，会出现逻辑矛盾，导致证法失效。”
齐物的声音清脆果断，迴荡在大礼堂內。
台上的郭达彻底变了脸色。
这少年竟然一下子就想到这么多种证法失效的情况！
不得了！
二中……兰苍二中有这种学生？
“那男生嘰里咕嚕说啥呢？”
“没听懂。”
“但是郭老师没打断他，而且神色凝重。”
“难道这二中的同学真的看出郭老师的错误？”
“不可能！绝对不可能！”
“二中啊……那里的老师都不一定能看懂郭老师的解法吧。”
……
“同学，你可以上台吗？”
郭达发出邀请，“来说说，既然我的证法有这么多紕漏，应该怎么改进？”
此言一出，满场震惊。
“郭老师……这是认可了二中这学渣的话？”
“我靠，二中崛起了！”
“不可能啊，二中学习最好的就是张凌光了……”
齐物离开座位，镇定地走到台上。
“郭老师好。”
齐物做出最基本的礼貌，“纯几何的辅助线，依赖於图形的直观结构。一旦图形拓扑结构发生变化，辅助线就会失效。
数学是一门追求確定性的科学，我们完全可以拋弃虚无縹緲的辅助线，用解析几何来解决它。”
郭达眼神微眯：“你懂解析几何？”
齐物心想我不仅懂，我还是3级大佬！
他拿起电容笔，开始在平板上书写，並同步到大屏幕上。
“建立直角坐標系。”
齐物画出一个十字坐標轴，“以弦pq的中点m为原点（0，0），弦pq所在的直线为x轴。
因为m是弦pq的中点，根据圆的对称性，圆心必定落在垂直於pq的直线上，也就是y轴上。”
“所以，我们可以直接设这个圆的方程为x2+y2-2ay+c=0。”
写到这里，郭达眼中闪出讚赏。
而吃瓜群眾——
“臥槽，一个圆形怎么就变成方程了？”
“几何代数化……”
齐物继续书写，十分流畅，仿佛不用思考：“过原点m的两条直线ab和cd，我们可以设定它们的方程为y=k?x，y=k?x.
將直线ab的方程代入圆的方程，得到x的一元二次方程（1+k?2）x2-2ak?x+c=0。
同理，將直线cd代入，得到（1+k?2）x2-2ak?x+c=0。”
台下一中的尖子生和老师们已经渐渐看懂了齐物的解法。
设方程，联立公式，求交点——
標准的解析几何做法。
但是计算量很大。
郭达忍不住道：“同学，你的思路是对的，但是后续求交点时，代数化简的计算量很大……”
“不大啊。”
齐物淡淡道，“用韦达定理进行高阶代数变换就行了。”
“设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4）。根据韦达定理，我们可以直接得出：
1/x1+1/x2=2ak1/c
1/x3+1/x4=2ak2/c。
a，x，d三点共线，利用斜率相等列出等式……可求出和x轴交点mx的表达式。
同理可得出my的表达式。
两式相加……提取公因式，代入韦达定理……k1、k2项抵消，常数项抵消，即：
1/mx+1/my=0，
很明显，mx=-my，也就是说，m为xy的中点。
q·e·d。”
齐物从开始证明，到结束，只用了三分钟不到的时间。
相比较於郭达的辅助线和相似三角形，齐物的解答不仅只有简单的方程，更关键的是堵住了漏洞，更加严谨。
大礼堂內一片寂静。
80%的人都无法判定齐物到底是在装逼……还是在装逼……
他们只是看不懂……
这种情况不应该出现在一个二中的学渣身上。
很多尖子生和老师却发现，齐物……
似乎答对了。
“好好好！”
郭达连续说了三个好，“还没请教，同学的名字？”
“兰苍二中，齐物。”
“齐同学有很出色的解析几何功底，解法严谨正確，让人嘆为观止——”
……
“臥槽，二中这逼做对了！”
“二中啊，那可是二中！”
“二中捡到宝了？”
“此人名声不显啊，为何突然崛起？”
“齐物……”台下的二中老师和张凌光李飞都惊呆了，这还是他们认识的那个学渣齐物吗？
他数学不及格！
竟然能和郭达老师进行【学术交流】了？
“不过……”
台上的郭达老师忽而笑道，“蝴蝶定理一开始是以纯几何出现，但是在1981年，k.萨蒂亚纳拉亚纳给出了解析几何证法，和齐同学的解法基本一致。”
啊？
此言一出，台下吃瓜群眾不淡定了。
“1981年就出现解析几何证法了？”
“嗨~齐物肯定是看过答案，背下来了！”
“我就说嘛，二中那种浅水滩怎么会有真龙呢？”
“二中这是提前知道郭老师的讲题，然后让学生上来装逼了吧。”
“肯定是啦，打开知名度，明年抢点好苗子。”
郭达也不確定，齐物到底有没有看过k.萨蒂亚纳拉亚纳的解法，如果没看过，能看出几何学的漏洞並给出解析几何解法——
那这个齐物，天赋非凡。
“哦？”
齐物一愣，他才晋升学霸没多久，並不知道什么k.萨蒂亚纳拉亚纳，这个解法是他在一分钟之內想出来的，“解法是我独立想出来的。”
“当然了，这是一种很基础的解法。”
“我还有一种更美妙的证法，之所没拿出来，是因为我觉得，大家可能看不懂。”
wtf？
一石激起千层浪！
大礼堂內一片譁然！
“我靠，此人是谁，竟然说郭老师的证法是错误的？”
“看校服好像是二中的。”
“二中？我笑死！”
“二中的连211都考不上，也敢质疑全国名师？”
“这傢伙看得懂题目吗？”
“臥槽，齐物，你……”
张凌光使劲拉了拉齐物的校服，想让他坐下，別丟人了。
“哦？”
郭达心中一动，微笑道，“那你说说看，我的解法哪里死板？哪里有错？”
齐物淡定地开口：“郭老师的解法是属於古典几何领域。
古典几何过度依赖个人灵感，寻找辅助线的过程本身就充满了偶然性。比如您的证明过程，过度依赖那四条垂线构造的相似三角形。
第一个证据，如果弦ab和cd中有一条恰好垂直於水平轴呢？”
此言一出，郭达微微一愣。
很多数学老师也是眉眼一抬。
“如果弦垂直於水平轴，那么垂线將与弦重合，三角形將不復存在，您的这一套比例推导是不是就直接崩溃了？
从而您的证明丟失了普適性。”
郭达內心一喜，看来兰苍县还是有苗子的。
“第二个证据，弦重合退化。ab和cd退化成同一条直线，相似三角形同样不存在，相似性判定条件不成立，辅助线失去意义。”
“第三个证据，动点翻转至圆外。
直线ad、bc与pq的交点x、y翻转到圆外时，所做的垂线会落在弦ab、cd的延长线上，纯几何中线段长度无正负界定，导致相似比例链断裂，若是强行推导，会出现逻辑矛盾，导致证法失效。”
齐物的声音清脆果断，迴荡在大礼堂內。
台上的郭达彻底变了脸色。
这少年竟然一下子就想到这么多种证法失效的情况！
不得了！
二中……兰苍二中有这种学生？
“那男生嘰里咕嚕说啥呢？”
“没听懂。”
“但是郭老师没打断他，而且神色凝重。”
“难道这二中的同学真的看出郭老师的错误？”
“不可能！绝对不可能！”
“二中啊……那里的老师都不一定能看懂郭老师的解法吧。”
……
“同学，你可以上台吗？”
郭达发出邀请，“来说说，既然我的证法有这么多紕漏，应该怎么改进？”
此言一出，满场震惊。
“郭老师……这是认可了二中这学渣的话？”
“我靠，二中崛起了！”
“不可能啊，二中学习最好的就是张凌光了……”
齐物离开座位，镇定地走到台上。
“郭老师好。”
齐物做出最基本的礼貌，“纯几何的辅助线，依赖於图形的直观结构。一旦图形拓扑结构发生变化，辅助线就会失效。
数学是一门追求確定性的科学，我们完全可以拋弃虚无縹緲的辅助线，用解析几何来解决它。”
郭达眼神微眯：“你懂解析几何？”
齐物心想我不仅懂，我还是3级大佬！
他拿起电容笔，开始在平板上书写，並同步到大屏幕上。
“建立直角坐標系。”
齐物画出一个十字坐標轴，“以弦pq的中点m为原点（0，0），弦pq所在的直线为x轴。
因为m是弦pq的中点，根据圆的对称性，圆心必定落在垂直於pq的直线上，也就是y轴上。”
“所以，我们可以直接设这个圆的方程为x2+y2-2ay+c=0。”
写到这里，郭达眼中闪出讚赏。
而吃瓜群眾——
“臥槽，一个圆形怎么就变成方程了？”
“几何代数化……”
齐物继续书写，十分流畅，仿佛不用思考：“过原点m的两条直线ab和cd，我们可以设定它们的方程为y=k?x，y=k?x.
將直线ab的方程代入圆的方程，得到x的一元二次方程（1+k?2）x2-2ak?x+c=0。
同理，將直线cd代入，得到（1+k?2）x2-2ak?x+c=0。”
台下一中的尖子生和老师们已经渐渐看懂了齐物的解法。
设方程，联立公式，求交点——
標准的解析几何做法。
但是计算量很大。
郭达忍不住道：“同学，你的思路是对的，但是后续求交点时，代数化简的计算量很大……”
“不大啊。”
齐物淡淡道，“用韦达定理进行高阶代数变换就行了。”
“设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4）。根据韦达定理，我们可以直接得出：
1/x1+1/x2=2ak1/c
1/x3+1/x4=2ak2/c。
a，x，d三点共线，利用斜率相等列出等式……可求出和x轴交点mx的表达式。
同理可得出my的表达式。
两式相加……提取公因式，代入韦达定理……k1、k2项抵消，常数项抵消，即：
1/mx+1/my=0，
很明显，mx=-my，也就是说，m为xy的中点。
q·e·d。”
齐物从开始证明，到结束，只用了三分钟不到的时间。
相比较於郭达的辅助线和相似三角形，齐物的解答不仅只有简单的方程，更关键的是堵住了漏洞，更加严谨。
大礼堂內一片寂静。
80%的人都无法判定齐物到底是在装逼……还是在装逼……
他们只是看不懂……
这种情况不应该出现在一个二中的学渣身上。
很多尖子生和老师却发现，齐物……
似乎答对了。
“好好好！”
郭达连续说了三个好，“还没请教，同学的名字？”
“兰苍二中，齐物。”
“齐同学有很出色的解析几何功底，解法严谨正確，让人嘆为观止——”
……
“臥槽，二中这逼做对了！”
“二中啊，那可是二中！”
“二中捡到宝了？”
“此人名声不显啊，为何突然崛起？”
“齐物……”台下的二中老师和张凌光李飞都惊呆了，这还是他们认识的那个学渣齐物吗？
他数学不及格！
竟然能和郭达老师进行【学术交流】了？
“不过……”
台上的郭达老师忽而笑道，“蝴蝶定理一开始是以纯几何出现，但是在1981年，k.萨蒂亚纳拉亚纳给出了解析几何证法，和齐同学的解法基本一致。”
啊？
此言一出，台下吃瓜群眾不淡定了。
“1981年就出现解析几何证法了？”
“嗨~齐物肯定是看过答案，背下来了！”
“我就说嘛，二中那种浅水滩怎么会有真龙呢？”
“二中这是提前知道郭老师的讲题，然后让学生上来装逼了吧。”
“肯定是啦，打开知名度，明年抢点好苗子。”
郭达也不確定，齐物到底有没有看过k.萨蒂亚纳拉亚纳的解法，如果没看过，能看出几何学的漏洞並给出解析几何解法——
那这个齐物，天赋非凡。
“哦？”
齐物一愣，他才晋升学霸没多久，並不知道什么k.萨蒂亚纳拉亚纳，这个解法是他在一分钟之內想出来的，“解法是我独立想出来的。”
“当然了，这是一种很基础的解法。”
“我还有一种更美妙的证法，之所没拿出来，是因为我觉得，大家可能看不懂。”