线性空间，还有它的衍生结构，绝对是现代数学最成功的抽象框架之一。
但和所有的数理工具一样，任何强大工具的背面，都刻著一个適用边界。
而线性空间的適用边界，就是加法的阿贝尔群结构，以及数乘的线性分配律。
这两个约束，在本质上就是集合v和数域f的绝对边界。
房间里，陈言將线性代数的几本书摊开放在一边。
开始攻坚节点3的第二个解锁条件，清晰界定线性空间的適用边界与非线性场景的局限性。
而他从几何方法中找到的解决方法，对应的正是非线性场景的局限性。
他並没有直接用这个方法，因为路要一步一步走，他得先解决线性空间的適用边界问题。
在清晰界定出线性空间公理体系的硬性边界后，陈言稍微停顿了一下，然后才再次拿笔在草稿纸上写了一句话。
【线性变换t(ax+by)=at(x)+bt(y)，核心是叠加原理】
写完后，陈言的脑海里隨即冒出一个问號。
如果叠加原理失效呢？
问號冒出的同时，答案也隨之浮现。
那就是，一旦系统不满足叠加原理，整个线性变换的框架，就会宣告失效。
这也是第二个適用边界的问题。
有了答案后，陈言手中的笔便落在了草稿纸上。
在刚才那句话的下面，开始推导失效的场景，並界定適用边界。
隨著水笔中墨汁的喷吐，这个问题的回答便落在了纸上。
完成了线性空间適用边界的界定后，顺其自然的，陈言便来到了非线性场景的局限性上。
这是一个从工具失效到概念瓦解的问题。
简单来说，就是线性代数赖以建立的概念体系，到了非线性场景时就没用了。
那就得分析有哪些非线性场景，然后应该怎么应对。
陈言的嘴角噙著一丝笑意，这个问题对他来说，或许要更简单一些。
带著思路和答案去解决问题，总是比一步步摸索要来得快的。
没有花太多功夫，他便搞定了这个问题。
看著被填满的几张草稿纸，陈言轻轻用笔勾了一下。
他勾的地方写著的是“假设数据分布在低维非线性流形上，在流形上建立几何，用局部欧式空间拼接全局结构”。
这也正是他在竞赛正课上所想到的那个几何方法。
隨即，陈言满意地放下笔，然后看了眼被他唤出，浮现在眼前的透明面板。
节点3的前两个解锁前置条件已经全部完成。
闭环进度更是来到了99%！
只不过，看著这个闭环进度的陈言，原本笑著的脸上突然一僵。
然后他迅速扭头看了眼桌上的闹钟。
当看到此时已经是01:01时，他顿时苦著个脸。
紧赶慢赶的，虽然完成了第二个解锁条件，也把闭环进度推到了99%。
可这1%，他今晚跨不过去了呀。
就像节点1当时一样，要完成应对逻辑质疑的第三个解锁条件，他光靠自己去找是走不通的。
可现在这么晚了，他该打扰谁呢？
周建民，还是赵海洲？
摇了摇头，陈言压下心里的衝动。
这么晚了，他打扰谁都不合適。
正好明天是周六，他得去参加数竞的训练，可以找赵海洲搞定这卡住的1%。
不过，他记得齐坤宇说过，明天好像是直接就开始模考，就是不知道赵海洲到时会不会在。
“算了，明天再看吧，不行就再去办公室堵门……”
陈言隨即不再多想，而是將线性代数的收了起来，转而拿出了解析几何相关的三本书。
现在才凌晨1点而已，睡觉是不可能睡觉的，哪个高三生睡这么早？
第二天一早，陈言起床后，只用了几分钟时间，就洗漱好带著早饭出门了。
他还是打算先去办公室堵一下赵海洲再说。
只不过，他还没走到赵海洲的办公室呢，就被人给喊住了。
“陈言，你干嘛去？”
陈言脚步顿住，回头看了一眼，李建国正一脸奇怪的看著他。
他转过身来，解释道：“我去找赵老师。”
“哦。”李建国点了点头，表情有点复杂。
他感觉自己这个陈言的班主任加数学老师，好像是个假的。
现在的陈言，明显跟周建民和赵海洲要亲密的多。
在心里轻嘆了口气，见陈言好像有些著急，李建国开口说道：“那行，你去找赵老师吧。”
不过，陈言刚欲转身要走，就听李建国又问道：“你找赵老师是碰到什么问题了吗？”
“是有一个线性代数的问题，那个，李老师，我就先走了。”陈言快速说了一句，就再次准备离开。
话音未落，李建国便再次问道：“什么问题？”
陈言看了看李建国，迟疑了两秒，没有说话。
李建国没好气地说道：“我也是数学老师！”
陈言顿时双眼一亮，对啊，老李也是数学老师，还是正规数学系毕业的高材生。
他这个问题问老李也是可以的啊！
隨即，他脸上的著急没了，而是目光灼灼地盯著李建国。
李建国颇为无奈地说道：“能说了？”
陈言用力点了点头，將自己的问题讲了出来。
和上次询问周建民时一样，他讲了自己对整个线性代数的理解。
隨著他的讲述，李建国的目光逐渐变得震惊起来。
对於这小子几天就啃完了实数公理体系，还有极限导数那些，他是知道的。
那是前几天这小子亲口说的。
可现在，再快也不能快成这样子吧？
他本来以为，以陈言的速度，这两天应该是啃完了微积分的內容。
可谁想到，不仅是微积分的內容，还有整个线性代数的东西！
毕竟，这可不单单是高中的数学。
从实数那块开始，陈言一直在啃的就是完整的基础数学內容。
包含了整个高中和大学的基础数学，甚至还有点更深地內容。
不是，这小子开窍后变得这么妖孽吗？
陈言说完后，见李建国好像被定住一般，顿时心里就有些打鼓。
难道说，数学老师亦有差距？
不过，並没有让他等太久。
李建国在自我消化后，便开始解答起了他的疑惑。
“你想问如何应对高维线性空间的逻辑质疑，那我先问你，你对这个问题的认知是什么？”
但和所有的数理工具一样，任何强大工具的背面，都刻著一个適用边界。
而线性空间的適用边界，就是加法的阿贝尔群结构，以及数乘的线性分配律。
这两个约束，在本质上就是集合v和数域f的绝对边界。
房间里，陈言將线性代数的几本书摊开放在一边。
开始攻坚节点3的第二个解锁条件，清晰界定线性空间的適用边界与非线性场景的局限性。
而他从几何方法中找到的解决方法，对应的正是非线性场景的局限性。
他並没有直接用这个方法，因为路要一步一步走，他得先解决线性空间的適用边界问题。
在清晰界定出线性空间公理体系的硬性边界后，陈言稍微停顿了一下，然后才再次拿笔在草稿纸上写了一句话。
【线性变换t(ax+by)=at(x)+bt(y)，核心是叠加原理】
写完后，陈言的脑海里隨即冒出一个问號。
如果叠加原理失效呢？
问號冒出的同时，答案也隨之浮现。
那就是，一旦系统不满足叠加原理，整个线性变换的框架，就会宣告失效。
这也是第二个適用边界的问题。
有了答案后，陈言手中的笔便落在了草稿纸上。
在刚才那句话的下面，开始推导失效的场景，並界定適用边界。
隨著水笔中墨汁的喷吐，这个问题的回答便落在了纸上。
完成了线性空间適用边界的界定后，顺其自然的，陈言便来到了非线性场景的局限性上。
这是一个从工具失效到概念瓦解的问题。
简单来说，就是线性代数赖以建立的概念体系，到了非线性场景时就没用了。
那就得分析有哪些非线性场景，然后应该怎么应对。
陈言的嘴角噙著一丝笑意，这个问题对他来说，或许要更简单一些。
带著思路和答案去解决问题，总是比一步步摸索要来得快的。
没有花太多功夫，他便搞定了这个问题。
看著被填满的几张草稿纸，陈言轻轻用笔勾了一下。
他勾的地方写著的是“假设数据分布在低维非线性流形上，在流形上建立几何，用局部欧式空间拼接全局结构”。
这也正是他在竞赛正课上所想到的那个几何方法。
隨即，陈言满意地放下笔，然后看了眼被他唤出，浮现在眼前的透明面板。
节点3的前两个解锁前置条件已经全部完成。
闭环进度更是来到了99%！
只不过，看著这个闭环进度的陈言，原本笑著的脸上突然一僵。
然后他迅速扭头看了眼桌上的闹钟。
当看到此时已经是01:01时，他顿时苦著个脸。
紧赶慢赶的，虽然完成了第二个解锁条件，也把闭环进度推到了99%。
可这1%，他今晚跨不过去了呀。
就像节点1当时一样，要完成应对逻辑质疑的第三个解锁条件，他光靠自己去找是走不通的。
可现在这么晚了，他该打扰谁呢？
周建民，还是赵海洲？
摇了摇头，陈言压下心里的衝动。
这么晚了，他打扰谁都不合適。
正好明天是周六，他得去参加数竞的训练，可以找赵海洲搞定这卡住的1%。
不过，他记得齐坤宇说过，明天好像是直接就开始模考，就是不知道赵海洲到时会不会在。
“算了，明天再看吧，不行就再去办公室堵门……”
陈言隨即不再多想，而是將线性代数的收了起来，转而拿出了解析几何相关的三本书。
现在才凌晨1点而已，睡觉是不可能睡觉的，哪个高三生睡这么早？
第二天一早，陈言起床后，只用了几分钟时间，就洗漱好带著早饭出门了。
他还是打算先去办公室堵一下赵海洲再说。
只不过，他还没走到赵海洲的办公室呢，就被人给喊住了。
“陈言，你干嘛去？”
陈言脚步顿住，回头看了一眼，李建国正一脸奇怪的看著他。
他转过身来，解释道：“我去找赵老师。”
“哦。”李建国点了点头，表情有点复杂。
他感觉自己这个陈言的班主任加数学老师，好像是个假的。
现在的陈言，明显跟周建民和赵海洲要亲密的多。
在心里轻嘆了口气，见陈言好像有些著急，李建国开口说道：“那行，你去找赵老师吧。”
不过，陈言刚欲转身要走，就听李建国又问道：“你找赵老师是碰到什么问题了吗？”
“是有一个线性代数的问题，那个，李老师，我就先走了。”陈言快速说了一句，就再次准备离开。
话音未落，李建国便再次问道：“什么问题？”
陈言看了看李建国，迟疑了两秒，没有说话。
李建国没好气地说道：“我也是数学老师！”
陈言顿时双眼一亮，对啊，老李也是数学老师，还是正规数学系毕业的高材生。
他这个问题问老李也是可以的啊！
隨即，他脸上的著急没了，而是目光灼灼地盯著李建国。
李建国颇为无奈地说道：“能说了？”
陈言用力点了点头，將自己的问题讲了出来。
和上次询问周建民时一样，他讲了自己对整个线性代数的理解。
隨著他的讲述，李建国的目光逐渐变得震惊起来。
对於这小子几天就啃完了实数公理体系，还有极限导数那些，他是知道的。
那是前几天这小子亲口说的。
可现在，再快也不能快成这样子吧？
他本来以为，以陈言的速度，这两天应该是啃完了微积分的內容。
可谁想到，不仅是微积分的內容，还有整个线性代数的东西！
毕竟，这可不单单是高中的数学。
从实数那块开始，陈言一直在啃的就是完整的基础数学內容。
包含了整个高中和大学的基础数学，甚至还有点更深地內容。
不是，这小子开窍后变得这么妖孽吗？
陈言说完后，见李建国好像被定住一般，顿时心里就有些打鼓。
难道说，数学老师亦有差距？
不过，並没有让他等太久。
李建国在自我消化后，便开始解答起了他的疑惑。
“你想问如何应对高维线性空间的逻辑质疑，那我先问你，你对这个问题的认知是什么？”